Autoregressiva glidande medelvärde modell excel

ARMA Unplugged Detta är den första posten i vår serie Unplugged tutorials, där vi dyker in i detaljerna i var och en av de tidsseriemodeller som du redan är bekant med, markerar de underliggande antagandena och kör hem intuitionerna bakom dem. I den här frågan hanterar vi ARMA-modellen en hörnsten i tidsseriemodellering. Till skillnad från tidigare analysproblem börjar vi här med ARMA-processdefinitionen, ange ingångar, utgångar, parametrar, stabilitetsbegränsningar, antaganden och slutligen dra några riktlinjer för modelleringsprocessen. Bakgrund Enligt definitionen är det automatiska regressiva glidande medlet (ARMA) en stationär stokastisk process som består av summa av autoregressiva Excel och glidande medelkomponenter. Alternativt, i en enkel formulering: Förutsättningar Låt oss se närmare på formuleringen. ARMA-processen är helt enkelt en viktad summa av de tidigare utmatningsobservationerna och chockerna, med få viktiga antaganden: Vad betyder dessa antaganden En stokastisk process är en motsvarighet till en deterministisk process som beskriver hur en slumpmässig variabel utvecklas över tiden. I vårt fall är den slumpmässiga variabeln ARMA-processen fångar endast seriell korrelation (dvs automatisk korrelation) mellan observationerna. I enkla ord summerar ARMA-processen upp värdena för tidigare observationer, inte deras kvadrerade värden eller deras logaritmer etc. Högre orderberoende innebär att en annan process (t. ex. ARCHGARCH, icke-linjära modeller etc.) är mandat. Det finns många exempel på en stokastisk process där tidigare värden påverkar nuvarande. Till exempel, i ett försäljningskontor som kontinuerligt mottar RFQ, realiseras några som försäljningsvinst, några som försäljningsförluster, och några släpptes över till nästa månad. Som en följd av detta kommer några av de försäljningsgevunna fallen att förekomma som en RFQ eller en återkommande försäljning från tidigare månader. Vad är chocker, innovationer eller felvillkor Det här är svår fråga, och svaret är inte mindre förvirrande. Fortfarande, låt oss prova: I enkla ord är felperioden i en given modell en catch-all-hink för alla variationer som modellen inte förklarar. Fortfarande förlorade Kan vi använda ett exempel. För en aktiekursprocess finns det kanske hundratals faktorer som driver uppdateringen av prisnivån, inklusive: Utdelningar och delårsmeddelanden Kvartalsresultatrapporter Fusioner och förvärv (MampA) Aktiviteter Juridiska händelser, t. ex. hotet om klagomål. Andra En modell, genom design, är en förenkling av en komplex verklighet, så vad som helst vi lämnar utanför modelleras automatiskt i felperioden. ARMA-processen förutsätter att den kollektiva effekten av alla dessa faktorer verkar mer eller mindre som gaussiskt ljud. Varför bryr vi oss om tidigare chocker Till skillnad från en regressionsmodell kan förekomsten av en stimulans (t. ex. chock) ha en effekt på nuvarande nivå, och eventuellt framtida nivåer. En företagshändelse (t. ex. MampA-aktivitet) påverkar exempelvis börskursens aktiekurs, men förändringen kan ta lite tid för att få full effekt, eftersom marknadsaktörer absorberar tillgänglig information och reagerar i enlighet därmed. Detta ber om ursprunget: inte de tidigare värdena för utgången har redan chockerna förbi informationen JA, chockhistoriken redovisas redan i tidigare utdata. En ARMA-modell kan uteslutande representeras som en ren auto-regressiv (AR) - modell, men lagringskravet för ett sådant system i oändligt. Detta är den enda anledningen att inkludera MA-komponenten: att spara på lagring och förenkla formuleringen. Återigen måste ARMA-processen vara stationär för att den marginella (ovillkorliga) variansen ska existera. Obs! I min diskussion ovan gör jag inte skillnad mellan endast frånvaro av enhetsrot i den karakteristiska ekvationen och stationäriteten i processen. De är relaterade, men frånvaron av enhetsrot är inte en garanti för stationäritet. Enhetsroten måste dock ligga inne i enhetscirkeln för att vara korrekt. Slutsats Låt oss ta reda på vad vi hittills gjort. Först undersökte vi en stationär ARMA-process, tillsammans med dess formulering, ingångar, antaganden och lagringskrav. Därefter visade vi att en ARMA-process innehåller sina utgångsvärden (autokorrelation) och chocker som tidigare upplevt i den aktuella utgången. Slutligen visade vi att den stationära ARMA-processen producerar en tidsserie med stabilt långsiktigt medelvärde och varians. I vår dataanalys, innan vi föreslår en ARMA-modell, borde vi verifiera stationaritetsantagandet och de slutgiltiga minneskraven. Om dataserien uppvisar en deterministisk trend måste vi ta bort (de-trend) det först och använd sedan resterna för ARMA. Om datasatsen uppvisar en stokastisk trend (t ex slumpmässig promenad) eller säsonglighet, måste vi underhålla ARIMASARIMA. Slutligen kan korrelogrammet (dvs ACFPACF) användas för att mäta minneskravet för modellen som vi borde förvänta att antingen ACF eller PACF försvinner snabbt efter några lags. Om inte kan detta vara ett tecken på icke-stationäritet eller ett långsiktigt mönster (t. ex. ARFIMA).ARIMA Prognoser med Excel och R Hej Idag ska jag gå igenom en introduktion till ARIMA-modellen och dess komponenter, liksom som en kort förklaring av Box-Jenkins metod för hur ARIMA-modellerna specificeras. Slutligen skapade jag ett Excel-implementering med R, som I8217ll visar dig hur du konfigurerar och använder. Autoregressive Moving Average (ARMA) Modeller Den autoregressiva Moving Average-modellen används för modellering och prognos för stationära, stokastiska tidsserier. Det är kombinationen av två tidigare utvecklade statistiska tekniker, de autoregressiva (AR) och Moving Average (MA) - modellerna och beskrivs ursprungligen av Peter Whittle 1951. George E. P. Box och Gwilym Jenkins populariserade modellen 1971 genom att specificera diskreta steg för modellidentifiering, uppskattning och verifiering. Denna process kommer att beskrivas senare för referens. Vi börjar med att introducera ARMA-modellen genom sina olika komponenter, AR - och MA-modellerna och presentera sedan en populär generalisering av ARMA-modellen, ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) och prognoser och modellspecifikationssteg. Slutligen kommer jag att förklara ett Excel-genomförande jag skapade och hur man använder det för att göra dina prognoser för tidsserier. Autoregressiva modeller Den autoregressiva modellen används för att beskriva slumpmässiga processer och tidsvarierande processer och specificerar att utgångsvariabeln beror linjärt på sina tidigare värden. Modellen beskrivs som: Xt c sum varphii, Xt-i varepsilont Varphi1, ldots, varphivarphi är parametrarna för modellen, C är konstant och varepsilont är en vit brusperiod. I huvudsak beskriver vad modellen beskriver för ett givet värde X (t). det kan förklaras av funktioner av sitt tidigare värde. För en modell med en parameter förklaras varphi 1. X (t) av dess tidigare värde X (t-1) och slumpmässigt feluppdatering. För en modell med mer än en parameter, till exempel varphi 2. X (t) ges av X (t-1). X (t-2) och slumpmässigt fel varepsilont. Moving Average Model Den rörliga genomsnittliga (MA) modellen används ofta för modellering av univariata tidsserier och definieras som: Xt mu varepsilont theta1, varepsilon ldots thetaq, varepsilon mu är medelvärdet av tidsserierna. theta1, ldots, thetaq är parametrarna för modellen. varepsilont, varepsilon, ldots är de vita brusvillkoren. q är ordningen för Moving Average-modellen. Den rörliga genomsnittsmodellen är en linjär regression av seriens nuvärde jämfört med varpsilontermer under föregående period, t. varepsilon. Exempelvis förklaras en MA-modell av q 1. X (t) av den aktuella felsvarupiloten i samma period och det tidigare felvärdet, varepsilon. För en modell av order 2 (q 2) förklaras X (t) av de två senaste felvärdena, varepsilon och varepsilon. AR (p) och MA (q) termerna används i ARMA-modellen, som nu kommer att introduceras. Autoregressiv Moving Average Modell Autoregressiv Moving Genomsnittliga modeller använder två polynomier, AR (p) och MA (q) och beskriver en stationär stokastisk process. En stationär process förändras inte när den förskjuts i tid eller rum, därför har en stationär process konstant medelvärde och varians. ARMA-modellen refereras ofta till i form av dess polynom, ARMA (p, q). Modellen har skrivits: Xt c varpsilont sum varphi1 X summa thetai varepsilon Val, estimering och verifiering av modellen beskrivs av Box-Jenkins-processen. Box-Jenkins Metod för modellidentifiering Nedan följer en mer översikt över Box-Jenkins-metoden, eftersom den faktiska processen att hitta dessa värden kan vara ganska överväldigande utan ett statistiskt paket. Excel-arket som ingår på den här sidan bestämmer automatiskt den bästa monteringsmodellen. Det första steget i Box-Jenkins-metoden är modellidentifiering. Steget innefattar att identifiera säsonglighet, differentiering om det behövs och bestämning av ordningen av p och q genom att kartlägga autokorrelations - och partiella autokorrelationsfunktioner. När modellen har identifierats beräknas nästa steg parametrarna. Parameteruppskattning använder statistiska paket och beräkningsalgoritmer för att hitta de bästa passande parametrarna. När parametrarna väljs, kontrollerar det sista steget modellen. Modellkontroll görs genom testning för att se huruvida modellen överensstämmer med en stationär univariatidserie. Man bör också bekräfta att resterna är oberoende av varandra och uppvisar konstant medelvärde och varians över tiden, vilket kan göras genom att utföra ett Ljung-Box-test eller återigen plottar autokorrelationen och partiell autokorrelering av resterna. Observera att det första steget innebär att man kontrollerar säsongsmässigheten. Om de data du arbetar med innehåller säsongsutvecklingar, gör du 8220difference8221 för att göra datan stationär. Detta differentieringssteg generaliserar ARMA-modellen i en ARIMA-modell, eller Autoregressive Integrated Moving Average, där 8216Integrated8217 motsvarar differentieringssteget. Autoregressiva integrerade rörliga genomsnittsmodeller ARIMA-modellen har tre parametrar, p, d, q. För att definiera ARMA-modellen för att inkludera differentieringsperioden börjar vi genom att omarrangera standard ARMA-modellen för att separera X (t) latex - och latexvarpsilont från summeringen. (1 sum sumai Li) Xt (1 summa thetai Li) varepsilont Där L är lagoperatören och alphai. thetai. varepsilont är autoregressiva och glidande medelparametrar, respektive felvillkoren. Vi gör nu antagandet den första polynomen av funktionen, (1 - summa alai Li) har en enhetlig rot av multiplicitet d. Vi kan sedan skriva om det på följande: ARIMA-modellen uttrycker polynomialiseringen med pp-d och ger oss: (1 - summa Li) (1 - L) d Xt (1 summa thetai Li) varepsilont Slutligen generaliserar vi modell ytterligare genom att lägga till en drivperiod som definierar ARIMA-modellen som ARIMA (p, d, q) med drift frac. (1-summa Phii Li) (1-L) d Xt delta (1 summa thetai Li) varepsilont Med den nu definierade modellen kan vi se ARIMA-modellen som två separata delar, en icke-stationär och den andra vidvinkliga stationära (gemensam sannolikhetsfördelning ändras inte när det ändras i tid eller rum). Den icke-stationära modellen: Den breda sensorns stationära modellen: (1-summa Phii Li) Yt (1 summa thetai Li) varepsilont Prognoser kan nu göras på Yt med en generaliserad autoregressiv prognosmetod. Nu när vi har diskuterat ARMA - och ARIMA-modellerna, vänder vi oss nu till hur kan vi använda dem i praktiska tillämpningar för att förutse prognoser. Ive byggt ett implementering med Excel med R för att göra ARIMA-prognoser samt ett alternativ att köra Monte Carlo-simulering på modellen för att bestämma sannolikheten för prognoserna. Excel Implementation och Användning Innan du använder arket måste du ladda ner R och RExcel från Statconns webbplats. Om du redan har R installerat kan du bara ladda ner RExcel. Om du inte har R installerat kan du ladda ner RAndFriends som innehåller den senaste versionen av R och RExcel. Observera, RExcel fungerar bara på 32bit Excel för sin icke-kommersiella licens. Om du har 64bit Excel installerat måste du få en kommersiell licens från Statconn. Det rekommenderas att ladda ner RAndFriends eftersom det ger den snabbaste och enklaste installationen, men om du redan har R och vill installera den manuellt, följ dessa steg. Installera manuellt RExcel För att installera RExcel och övriga paket för att R ska fungera i Excel öppnar du först R som administratör genom att högerklicka på. exe. I R-konsolen installerar du RExcel genom att skriva följande påståenden: Ovanstående kommandon installerar RExcel på din maskin. Nästa steg är att installera rcom, vilket är ett annat paket från Statconn för RExcel-paketet. För att installera detta, skriv följande kommandon, som också automatiskt installerar rscproxy som av R-version 2.8.0. Med dessa paket installerade kan du flytta till för att ställa in anslutningen mellan R och Excel. Även om det inte är nödvändigt för installationen, är ett praktiskt paket att ladda ner Rcmdr, utvecklat av John Fox. Rcmdr skapar R menyer som kan bli menyer i Excel. Den här funktionen kommer som standard med RAndFriends-installationen och gör flera R-kommandon tillgängliga i Excel. Skriv följande kommandon i R för att installera Rcmdr. Vi kan skapa länken till R och Excel. Observera i de senaste versionerna av RExcel den här anslutningen görs med ett enkelt dubbelklick på den bifogade. bat-filen ActivateRExcel2010, så du behöver bara följa dessa steg om du manuellt installerade R och RExcel eller om någon anledning inte görs i samband med anslutningen under installationen av RAndFriends. Skapa anslutningen mellan R och Excel Öppna en ny bok i Excel och navigera till alternativskärmen. Klicka på Alternativ och sedan Tillägg. Du bör se en lista över alla aktiva och inaktiva tillägg du har för tillfället. Klicka på knappen Gå längst ned. I dialogrutan Tillägg ser du alla tilläggsreferenser du har gjort. Klicka på Browse. Navigera till RExcel-mappen, vanligtvis i C: Program FilesRExcelxls eller något liknande. Hitta RExcel. xla-tillägget och klicka på det. Nästa steg är att skapa en referens för att makron använder R för att fungera korrekt. I ditt Excel-dokument anger du Alt F11. Detta öppnar Excels VBA editor. Gå till Verktyg - gt Referenser och hitta RExcel-referensen, RExcelVBAlib. RExcel ska nu vara redo att använda Använd Excel-arket Nu när R och RExcel är korrekt konfigurerade, är det dags att göra vissa prognoser Öppna prognosarket och klicka på Load Server. Det här är att starta RCom-servern och även ladda de nödvändiga funktionerna för att göra prognoserna. En dialogruta öppnas. Välj den itall. R-filen som ingår i arket. Den här filen innehåller de funktioner som prognosverktyget använder. De flesta av de funktioner som ingår var utvecklade av professor Stoffer vid University of Pittsburgh. De utökar möjligheterna till R och ger oss några användbara diagnostikgrafer tillsammans med vår prognosutgång. Det finns också en funktion för att automatiskt bestämma de bästa passande parametrarna för ARIMA-modellen. När servern har laddats, ange dina data i kolumnen Data. Välj dataintervallet, högerklicka och välj Namnintervall. Namn området som Data. Ange sedan frekvensen av dina data i Cell C6. Frekvens avser tidsperioderna för dina data. Om det är veckovis, skulle frekvensen vara 7. Månadsvis skulle vara 12 medan kvartalsvis skulle vara 4 osv. Ange de perioder som kommer att förutspå. Observera att ARIMA-modellerna blir ganska felaktiga efter flera på varandra följande frekvensprognoser. En bra tumregel är att inte överstiga 30 steg som någonting förbi som kan vara ganska opålitligt. Detta beror också på storleken på din dataset. Om du har begränsad data tillgänglig, rekommenderas att du väljer ett mindre steg före nummer. Efter att du har angett dina data, namnger den och ställer in önskad frekvens och steg framåt för att prognostisera, klicka på Kör. Det kan ta ett tag för prognoserna att bearbeta. När den är klar kommer du att få förutspådda värden ut till det antal du angav, standardfelet på resultaten och två diagram. Vänster är de förutspådda värdena plottade med data, medan rätten innehåller praktisk diagnos med standardiserade residualer, autokorrelering av resterna, en gg-del av resterna och en Ljung-Box statistikdiagram för att avgöra om modellen är välutrustad. Jag kommer inte in på för mycket detaljer om hur du letar efter en välutrustad modell, men på ACF-grafen vill du inte att någon (eller mycket) av lagspikarna passerar över den prickade blå linjen. På gg-plot, desto mer cirklar som går genom linjen, desto mer normaliserad och bättre monterad är modellen. För större dataset kan det här korsa många cirklar. Slutligen är Ljung-Box-testet en artikel i sig, desto mer cirklar som ligger ovanför den prickade blå linjen desto bättre är modellen. Om diagnostikresultatet inte ser bra ut, kan du försöka lägga till mer data eller starta på en annan punkt närmare det intervall du vill förutse. Du kan enkelt rensa de genererade resultaten genom att klicka på knappen Klar prognoserade värden. Och det är det För närvarande gör datakolonnen inte annat än för din referens, men det är inte nödvändigt för verktyget. Om jag hittar tid går jag tillbaka och lägger till så att det visade diagrammet visar rätt tid. Du kan också få ett fel när du kör prognosen. Detta beror vanligtvis på den funktion som finner att de bästa parametrarna inte kan bestämma rätt ordning. Du kan följa ovanstående steg för att försöka ordna dina data bättre för att funktionen ska fungera. Jag hoppas att du får använda dig av verktyget. Det räddade mig mycket tid på jobbet, eftersom nu är allt jag behöver göra är att mata in data, ladda serveren och köra den. Jag hoppas också att det här visar hur fantastiskt R kan vara, speciellt när det används med ett front-end som Excel. Kod, Excel-kalkylblad och. bas-fil finns också på GitHub här. Inledning till ARIMA: icke-säsongsmodeller ARIMA (p, d, q) prognoser ekvation: ARIMA-modeller är i teorin den vanligaste klassen av modeller för prognoser för en tidsserie som kan göras för att vara 8220stationary8221 genom differentiering (om nödvändigt), kanske i samband med olinjära transformationer såsom loggning eller deflatering (om nödvändigt). En slumpmässig variabel som är en tidsserie är stationär om dess statistiska egenskaper är konstanta över tiden. En stationär serie har ingen trend, dess variationer kring dess medelvärde har en konstant amplitud, och det vinklar på ett konsekvent sätt. d. v.s. dess kortsiktiga slumpmässiga tidsmönster ser alltid ut i statistisk mening. Det sistnämnda tillståndet betyder att dess autokorrelationer (korrelationer med sina egna tidigare avvikelser från medelvärdet) förblir konstanta över tiden, eller likvärdigt, att dess effektspektrum förblir konstant över tiden. En slumpmässig variabel i denna blankett kan ses som en kombination av signal och brus, och signalen (om en är uppenbar) kan vara ett mönster av snabb eller långsam mean reversion eller sinusformig oscillation eller snabb växling i tecken , och det kan också ha en säsongskomponent. En ARIMA-modell kan ses som en 8220filter8221 som försöker separera signalen från bruset, och signalen extrapoleras därefter i framtiden för att få prognoser. ARIMA-prognosekvationen för en stationär tidsserie är en linjär (d. v.s. regressionstyp) ekvation där prediktorerna består av lags av de beroende variabla andorlagren av prognosfel. Det vill säga: Förutsatt värdet på Y är en konstant och en viktad summa av ett eller flera nya värden av Y och eller en vägd summa av ett eller flera nya värden av felen. Om prediktorerna endast består av fördröjda värden på Y. Det är en ren autoregressiv (8220self-regressed8221) modell, som bara är ett speciellt fall av en regressionsmodell och som kan förses med standard regressionsprogram. Exempelvis är en första-order-autoregressiv (8220AR (1) 8221) modell för Y en enkel regressionsmodell där den oberoende variabeln bara Y är försenad med en period (LAG (Y, 1) i Statgraphics eller YLAG1 i RegressIt). Om en del av prediktorerna är felaktiga, är en ARIMA-modell inte en linjär regressionsmodell, eftersom det inte går att ange 8220last period8217s error8221 som en oberoende variabel: felen måste beräknas periodvis när modellen är monterad på data. Tekniskt sett är problemet med att använda fördröjda fel som prediktorer att modellen8217s förutsägelser inte är linjära funktioner för koefficienterna. även om de är linjära funktioner av tidigare data. Så koefficienter i ARIMA-modeller som innehåller försenade fel måste uppskattas genom olinjära optimeringsmetoder (8220hill-climbing8221) istället för att bara lösa ett system av ekvationer. Akronymet ARIMA står för Auto-Regressive Integrated Moving Average. Lags av den stationära serien i prognosen ekvationen kallas quotautoregressivequot termer, lags av prognosfel kallas quotmoving averagequot termer och en tidsserie som behöver differentieras för att göras stationär sägs vara en quotintegratedquot-version av en stationär serie. Slumpmässiga och slumpmässiga modeller, autoregressiva modeller och exponentiella utjämningsmodeller är alla speciella fall av ARIMA-modeller. En nonseasonal ARIMA-modell klassificeras som en quotARIMA (p, d, q) kvotmodell där: p är antalet autoregressiva termer, d är antalet icke-säsongsskillnader som behövs för stationaritet och q är antalet fördröjda prognosfel i prediksionsekvationen. Prognosekvationen är konstruerad enligt följande. Först, låt y beteckna d: s skillnad på Y. Det betyder: Observera att den andra skillnaden i Y (d2-fallet) inte är skillnaden från 2 perioder sedan. Det är snarare den första skillnaden-av-första skillnaden. vilken är den diskreta analogen av ett andra derivat, dvs den lokala accelerationen av serien i stället för dess lokala trend. När det gäller y. Den allmänna prognostiseringsekvationen är: Här definieras de rörliga genomsnittsparametrarna (9528217s) så att deras tecken är negativa i ekvationen, enligt konventionen införd av Box och Jenkins. Vissa författare och programvara (inklusive R-programmeringsspråket) definierar dem så att de har plustecken istället. När faktiska siffror är anslutna till ekvationen finns det ingen tvetydighet, men det är viktigt att veta vilken konvention din programvara använder när du läser utmatningen. Ofta anges parametrarna av AR (1), AR (2), 8230 och MA (1), MA (2), 8230 etc. För att identifiera lämplig ARIMA-modell för Y. börjar du med att bestämma sorteringsordningen (d) behöver stationera serierna och ta bort säsongens bruttoegenskaper, kanske i kombination med en variationsstabiliserande transformation, såsom loggning eller avflöde. Om du slutar vid denna tidpunkt och förutsäger att den olika serien är konstant, har du bara monterat en slumpmässig promenad eller slumpmässig trendmodell. Den stationära serien kan emellertid fortfarande ha autokorrelerade fel, vilket tyder på att vissa antal AR-termer (p 8805 1) och eller några nummer MA-termer (q 8805 1) också behövs i prognosekvationen. Processen att bestämma värdena p, d och q som är bäst för en given tidsserie kommer att diskuteras i senare avsnitt av anteckningarna (vars länkar finns längst upp på denna sida), men en förhandsvisning av några av de typerna av nonseasonal ARIMA-modeller som vanligtvis förekommer ges nedan. ARIMA (1,0,0) första ordningens autoregressiva modell: Om serien är stationär och autokorrelerad kanske den kan förutsägas som en multipel av sitt eget tidigare värde plus en konstant. Prognosekvationen i detta fall är 8230, som Y är regresserad i sig själv fördröjd med en period. Detta är en 8220ARIMA (1,0,0) constant8221 modell. Om medelvärdet av Y är noll, skulle den konstanta termen inte inkluderas. Om lutningskoefficienten 981 1 är positiv och mindre än 1 i storleksordningen (den måste vara mindre än 1 i storleksordningen om Y är stillastående), beskriver modellen medelåterkallande beteende där nästa period8217s värde bör förutses vara 981 1 gånger som långt ifrån medelvärdet som detta period8217s värde. Om 981 1 är negativ förutspår det medelåterkallande beteende med teckenväxling, dvs det förutspår också att Y kommer att ligga under den genomsnittliga nästa perioden om den är över medelvärdet denna period. I en andra-ordningsautoregressiv modell (ARIMA (2,0,0)) skulle det finnas en Y t-2 term till höger också, och så vidare. Beroende på tecken och storheter på koefficienterna kan en ARIMA (2,0,0) modell beskriva ett system vars medföljande reversering sker på ett sinusformigt oscillerande sätt, som en massans rörelse på en fjäder som utsätts för slumpmässiga stötar . ARIMA (0,1,0) slumpmässig promenad: Om serien Y inte är stillastående är den enklaste möjliga modellen för en slumpmässig promenadmodell, vilken kan betraktas som ett begränsande fall av en AR (1) - modell där den autogegrativa koefficienten är lika med 1, det vill säga en serie med oändligt långsam medelbackning. Förutsägningsekvationen för denna modell kan skrivas som: där den konstanta termen är den genomsnittliga period-till-period-förändringen (dvs. den långsiktiga driften) i Y. Denna modell kan monteras som en icke-avlyssningsregressionsmodell där första skillnaden i Y är den beroende variabeln. Eftersom den innehåller (endast) en nonseasonal skillnad och en konstant term, klassificeras den som en quotARIMA (0,1,0) modell med constant. quot. Den slumpmässiga walk-without-drift-modellen skulle vara en ARIMA (0,1, 0) modell utan konstant ARIMA (1,1,0) annorlunda första ordningens autoregressiva modell: Om fel i en slumpmässig promenadmodell är autokorrelerade kanske problemet kan lösas genom att lägga en lag av den beroende variabeln till prediktionsekvationen - - ie genom att regressera den första skillnaden av Y på sig själv fördröjd med en period. Detta skulle ge följande förutsägelsesekvation: som kan omordnas till Detta är en förstaordens autregressiv modell med en ordning av icke-säsongsskillnader och en konstant term, dvs. en ARIMA (1,1,0) modell. ARIMA (0,1,1) utan konstant enkel exponentiell utjämning: En annan strategi för korrigering av autokorrelerade fel i en slumpmässig promenadmodell föreslås av den enkla exponentiella utjämningsmodellen. Minns att för några icke-stationära tidsserier (t ex de som uppvisar bullriga fluktuationer kring ett långsamt varierande medelvärde), utförs slumpmässiga promenadmodellen inte lika bra som ett glidande medelvärde av tidigare värden. Med andra ord, istället för att ta den senaste observationen som prognosen för nästa observation, är det bättre att använda ett genomsnitt av de sista observationerna för att filtrera bort bullret och mer exakt uppskatta det lokala medelvärdet. Den enkla exponentiella utjämningsmodellen använder ett exponentiellt vägt glidande medelvärde av tidigare värden för att uppnå denna effekt. Förutsägningsekvationen för den enkla exponentiella utjämningsmodellen kan skrivas i ett antal matematiskt ekvivalenta former. varav den ena är den så kallade 8220error correction8221-formen, där den föregående prognosen justeras i riktning mot det fel som det gjorde: Eftersom e t-1 Y t-1 - 374 t-1 per definition kan det skrivas om som : vilket är en ARIMA (0,1,1) - utan konstant prognosekvation med 952 1 1 - 945. Det innebär att du kan passa en enkel exponentiell utjämning genom att ange den som en ARIMA (0,1,1) modell utan konstant, och den uppskattade MA (1) - koefficienten motsvarar 1-minus-alfa i SES-formeln. Minns att i SES-modellen är den genomsnittliga åldern för data i prognoserna för 1-tiden framåt 1 945. Det betyder att de tenderar att ligga bakom trender eller vändpunkter med cirka 1 945 perioder. Det följer att den genomsnittliga åldern för data i de 1-prognos framåt av en ARIMA (0,1,1) utan konstant modell är 1 (1 - 952 1). Så, till exempel, om 952 1 0,8 är medelåldern 5. När 952 1 närmar sig 1 blir ARIMA (0,1,1) utan konstant modell ett mycket långsiktigt glidande medelvärde och som 952 1 närmar sig 0 blir det en slumpmässig promenad utan driftmodell. What8217s det bästa sättet att korrigera för autokorrelation: Lägg till AR-termer eller lägga till MA-termer I de tidigare två modellerna som diskuterats ovan fixades problemet med autokorrelerade fel i en slumpmässig promenadmodell på två olika sätt: genom att lägga till ett fördröjt värde av de olika serierna till ekvationen eller lägga till ett fördröjt värde av prognosfelet. Vilket tillvägagångssätt är bäst En tumregel för denna situation, som kommer att diskuteras mer i detalj senare, är att positiv autokorrelation vanligtvis behandlas bäst genom att addera en AR-term till modellen och negativ autokorrelation behandlas vanligtvis bäst genom att lägga till en MA term. I affärs - och ekonomiska tidsserier uppstår negativ autokorrelation ofta som en artefakt av differentiering. (I allmänhet minskar differentieringen positiv autokorrelation och kan även orsaka en växling från positiv till negativ autokorrelation.) Således används ARIMA (0,1,1) - modellen, i vilken skillnad åtföljs av en MA-term, oftare än en ARIMA (1,1,0) modell. ARIMA (0,1,1) med konstant enkel exponentiell utjämning med tillväxt: Genom att implementera SES-modellen som en ARIMA-modell får du viss flexibilitet. För det första får den uppskattade MA (1) - koefficienten vara negativ. Detta motsvarar en utjämningsfaktor som är större än 1 i en SES-modell, vilket vanligtvis inte är tillåtet med SES-modellproceduren. För det andra har du möjlighet att inkludera en konstant term i ARIMA-modellen om du vill, för att uppskatta en genomsnittlig trendfri noll. ARIMA-modellen (0,1,1) med konstant har förutsägelsesekvationen: Prognoserna från den här modellen är kvalitativt likartade som i SES-modellen, förutom att banan för de långsiktiga prognoserna typiskt är en sluttande linje (vars lutning är lika med mu) snarare än en horisontell linje. ARIMA (0,2,1) eller (0,2,2) utan konstant linjär exponentiell utjämning: Linjära exponentiella utjämningsmodeller är ARIMA-modeller som använder två icke-säsongsskillnader i samband med MA-termer. Den andra skillnaden i en serie Y är inte bara skillnaden mellan Y och sig själv i två perioder, men det är snarare den första skillnaden i den första skillnaden, dvs. Y-förändringen i Y vid period t. Således är den andra skillnaden av Y vid period t lika med (Y t - Y t-1) - (Y t-1 - Y t-2) Y t - 2Y t-1 Y t-2. En andra skillnad av en diskret funktion är analog med ett andra derivat av en kontinuerlig funktion: det mäter kvotccelerationquot eller quotcurvaturequot i funktionen vid en given tidpunkt. ARIMA-modellen (0,2,2) utan konstant förutspår att den andra skillnaden i serien motsvarar en linjär funktion av de två sista prognosfel: som kan omordnas som: där 952 1 och 952 2 är MA (1) och MA (2) koefficienter. Detta är en generell linjär exponentiell utjämningsmodell. väsentligen samma som Holt8217s modell, och Brown8217s modell är ett speciellt fall. Den använder exponentiellt vägda glidande medelvärden för att uppskatta både en lokal nivå och en lokal trend i serien. De långsiktiga prognoserna från denna modell konvergerar till en rak linje vars lutning beror på den genomsnittliga trenden som observerats mot slutet av serien. ARIMA (1,1,2) utan konstant dämpad trend linjär exponentiell utjämning. Denna modell illustreras i de bifogade bilderna på ARIMA-modellerna. Den extrapolerar den lokala trenden i slutet av serien men plattar ut på längre prognoshorisonter för att presentera en konservatismskampanj, en övning som har empiriskt stöd. Se artikeln om varför Damped Trend worksquot av Gardner och McKenzie och artikeln "Rulequot Rulequot" av Armstrong et al. för detaljer. Det är i allmänhet lämpligt att hålla fast vid modeller där minst en av p och q inte är större än 1, dvs försök inte passa en modell som ARIMA (2,1,2), eftersom det här sannolikt kommer att leda till övermontering och quotcommon-factorquot-problem som diskuteras närmare i noterna om den matematiska strukturen för ARIMA-modeller. Implementering av kalkylark: ARIMA-modeller som de som beskrivs ovan är enkla att implementera på ett kalkylblad. Förutsägningsekvationen är helt enkelt en linjär ekvation som refererar till tidigare värden av ursprungliga tidsserier och tidigare värden av felen. Således kan du ställa in ett ARIMA-prognoskalkylblad genom att lagra data i kolumn A, prognosformeln i kolumn B och felen (data minus prognoser) i kolumn C. Förutsättningsformeln i en typisk cell i kolumn B skulle helt enkelt vara ett linjärt uttryck som hänvisar till värden i föregående rader av kolumnerna A och C multiplicerat med lämpliga AR - eller MA-koefficienter lagrade i celler på annat håll på kalkylbladet.